• 二元函数极值存在定理证法的改进 不要轻易放弃。学习成长的路上,我们长路漫漫,只因学无止境。


    二元函数极值具有定理的证实是多元函数的导数在研讨函数上的详细应用而变量的多元性使证实变得比拟复杂笔者在教养进程中总结出了两种比拟简略的证实方式供师生在教养和深造进程中参考。

    二元函数极值证实方式简化

    中图分类号633.6文献标识码文章编号16721578(2012)03025301

    定理若函数()在点()的邻域内所有二阶偏导数延续且()是函数()的不变点。设=2()=()=2()Δ=2当Δ<0时函数()在点()取极值且当>0(或>0时函数()在点()取极小值而当<0(或<0)时函数()在点()取极大值.Ⅱ.当Δ>0时函数()在点()不取极值。

    证法一要确定()在点()有没有极值等于要考核()()在邻域内的标识依照泰勒公式展开到第二项为止由于()是函数()的不变点故第一项消逝咱们万博赞助英超,万博足球投注,万博足球贵宾专线失掉()()=1[(2)+2()()+()2]+ο(ρ)2并且余项是比ρ=Δ2Δ2更高阶的无穷小以是()()的标识与=(2)+2()()+()2的标识相反设==则=2+2+2.

    若Δ=2<0(不为零)

    (1)当>0时(看做变量)无论取何值二次函数=2+2+2有最小值最小值=2(2)≥0即()()≥0故()在点()的邻域内取极小值。同理>0时()在点()取极小值。

    (2)当<0时(看做变量)无论取何值二次函数=2+2+2有最大值最大值=2(2)≤0即()()≤0故()在点()的邻域万博赞助英超,万博足球投注,万博足球贵宾专线内取极大值。同理<0时()在点()取极大值。

    若Δ=2>0则函数()在点()不取极值。

    (1)当、不同时为零当>0时(看做变量)无论取何值二次函数=2+2+2有最小值=2(2)≤0当≠0时最小值<0当=0≠0时=2>0即在点()的邻域内变号也等于()()在点()的邻域内变号故()在点()不取极值同理>0时()在点()不取极值。

    (2)当>0时(看做变量)无论取何值二次函数=2+2+2有最大值=2(2)≥0当≠0时最小值<0当=0≠0时=2>0故在点()的邻域内变号也等于()()在点()的邻域内变号故()在点()不取极值。同理>0时()在点()不取极值。

    (3)当=0=0时=2(为常数没关系设>0)而<0>0时<0>0>0时>0在点()的邻域内变号也等于说()在点()不取极值。

    证法二由于()()与=2+2+2的标识相反如今只考核的标识。

    当Δ=2<0时则与同号经配方失掉=1[(+)2+(2)2]故与同号。

    (1)当>0(或>0)时>0故()在点()取极小值

    (2)当>0(或>0)时<0故()在点()取极大值

    当Δ=2>0.

    (1)若≠0取≠0=0有=2与同号取=(≠0)有=2与异号故在点()的邻域内变号以是()在万博赞助英超,万博足球投注,万博足球贵宾专线点()不取极值。

    (2)若=0≠0则≠0取≠0=0有=2即与同号取=(≠0)有=2>0即与异号故()在点()不取极值。

    (3)若当=0=0则=2取>0<0(为常数没关系设>0)则<0取>0>0则>0故在点()的邻域内变号以是()不取极值。

    参考文献

    西南师大数学系等数学分析高等教育出书社出书。

    [2]刘东琏数学分析(第二版)高等教育出书社。

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